在概率论的长河中，马尔科夫链像一条清晰的轨道，指引着我们理解随机世界的“走向性”与“记忆性”。它的核心思想并不复杂，却在诸多领域里发挥着深远作用。简单说，长长久久的九字开头成语马尔科夫链是一类离散时间的随机过程，其未来的演变只取决于当前的状态，而与之前的路径无关。这就是著名的“记忆无关性”或“马尔科夫性”。如果把系统在每一个时刻的状态记作 X_n，那么马尔科夫性意味着 P(X_{ n+1}=j | X_n=i, X_{ n-1}=i_{ n-1}, …) = P(X_{ n+1}=j | X_n=i)。这一定性看起来像一个简单的初九祝你平安久久假设，却可以把复杂的随机演化变成可分析的对象。
一个马尔科夫链通常被描述为一个离散时间的状态跳转过程，状态集合记为 S。状态之间的转换由转移矩阵P来编码，P的每一行代表从某一状态出发，转到其他状态的概率分布。也就是说，若当前处在状态i，则在下一步进入状态j的概率是P_{ ij}，而所有可能的目标状态的概率和为1。状态集合可以有限，也可以是可数无限的；最常见的两类是有限状态和可数无限状态。若转移矩阵P中的每一行都不随时间变化，则称之为同质（或齐次）马尔科夫链；如果P随着时间改变，则是非齐次（或异质）马尔科夫链。
以一个简单的两状态例子来直观理解。设状态集合S={ A,B}，转移矩阵为P = [ [0.8, 0.2], [0.3, 0.7] ]，其中从A到A的概率是0.8，A到B的概率是0.2；从B到A的概率是0.3，B到B的概率是0.7。若初始时刻X_0处在A，则经过若干步后，系统会在A与B之间来回切换，其分布会逐步收敛到一个稳定的概率分布，即便初始状态并非A或B中的某一个。这个稳定分布就是所谓的平稳分布或不动点π，满足 πP = π，且各分量之和为1。对于有限并且不可约（任意状态之间都存在到达路径）且非周期性的马尔科夫链，这个平稳分布往往存在且唯一，且系统会在若干步之后“忘记”初始条件，趋于这个平稳分布。
在数学层面，还有一个重要的工具叫 Chapman-Kolmogorov 方程，它描述了经过若干步的转移概率如何组合：(P^n){ ij} 表示从状态i经过n步到达状态j 的概率。通过对矩阵P反复自乘，我们可以得到任意步数的转移概率分布。这一性状使得马尔科夫链在计算与分析上具备极大的便利性。对于连续时间的马尔科夫过程，则引入充满“速率信息”的速率矩阵Q，系统在任一时刻的瞬时跳转速率由Q{ ij}给出，随后通过矩阵指数 e^{ Qt} 来描述在时间t后各状态的分布。
马尔科夫链的美并不仅在于它的定义，而在于它的广泛应用与衍生框架。历史上，马尔科夫最早提出用于研究文本和语言的统计规律，后来它的思想被扩展到众多领域。比如天气预测的简化模型可以把“晴/雨”等状态作为离散状态，利用历史观测来估计转移概率，从而预测未来几天的天气分布。 PageRank 就是一个典型的应用场景：把网页看作状态，通过链接结构形成一个随机游走的马尔科夫过程，网页的长期分布（平稳分布）就是网页的“重要性”排序。文本生成和语音识别中，常用的也是马尔科夫链或其变体：给定当前词或音素，依据一组条件概率来选择下一个词或音素，从而得到连贯的文本或语音序列。尽管简单，但在短程依赖的场景下，马尔科夫链能提供可解释、可计算的模型基线。
在更高层次的框架里，马尔科夫决策过程（MDP）把马尔科夫性与优化目标结合起来，成为强化学习中的核心工具。MDP 增加了行动集合和回报函数，通过动态规划、值迭代等算法来寻找在给定策略下的最优长期回报路径。这一扩展使得马尔科夫链不仅用于描述随机过程的演化，更用于智能体在不确定环境中如何做决策的理论基础。
需要注意的是，马尔科夫链虽然强大，但也有局限。许多现实现象具有长程依赖、上下文敏感性或非马尔科夫性特征，这时候简单的马尔科夫链往往无法充分描述。对此，研究者引入更复杂的模型，如隐马尔科夫模型（HMM），将可观测序列与隐藏的状态序列联系起来；以及高阶马尔科夫链、可变结构模型等来提升表达能力。此外，在实际应用中还要关注链的可达性、不可约性、周期性等性质，以判断是否存在唯一的平稳分布以及是否会收敛。
总之，马尔科夫链以“当前状态决定未来”的简洁原则，搭建了一座连接概率理论与现实世界的桥梁。它既是理论工具，也是工程方法；既能解释自然现象的随机演化，又能为工程系统的设计提供可操作的分析框架。越是在复杂、多变的世界里，越需要这种在简单回路中寻找稳定性的思维。通过对转移规律的刻画、对平稳分布的追寻，以及对极限性质的理解，马尔科夫链帮助我们在不确定性中找到可预测的秩序。